චලිතය පිළිබඳ නිව්ටන් නියම

චලිතය පිළිබඳ නිව්ටන් නියම සම්භාව්‍ය යාන්ත්‍ර විද්‍යාවෙහි මූලික සිද්ධාන්තයන් වේ. මෙම නියමයන්ගෙන් වස්තූන් මත ඇති වන බලය සහ එමඟින් ඇති වන චලිතය ගැන පැහැදිලි කෙරෙයි. නිවුටන් නියම ත්‍රිත්වය සැකෙවින් මෙසේ ය:

1. පළමු නියමය: බාහිර අසමතුලිත බලයක් නොයෙදෙන තාක් කල් එම වස්තුව නිශ්චලතාවයේ හෝ ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන් චලනය වෙමින් පවතී.(තවද පෘථිවිය සූර්යයා වටේ භ්‍රමණය වීම මගින් සිදු වන ක්‍රියාවලිය මොහුගේ බලය යන නිර්වචනයට පැහැදිලි කිරීමට අපෝහොසත් විය)
2. දෙවැනි නියමය: යම් වස්තුවක ගම්‍යතාවය වෙනස් වීමේ සීග්‍රතාව ඒ මත යෙදෙන බලයට අනුලෝම ව සමානුපාතික වේ.
3. තෙවැනි නියමය: සෑම ක්‍රියාවකට විශාලත්වයෙන් සමාන එහෙත් දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රතික්‍රියාවක් පවතී.

සම්භාව්‍යය යාන්ත්‍ර විද්‍යාව

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමය

(සම්භාව්‍යය යාන්ත්‍ර විද්‍යාවෙහි ඉතිහාසය) · කොටස් ස්ථිතිකය · ගති විද්‍යාව / චාලක විද්‍යාව · ප්‍රගති විද්‍යාව ·  ·  · Continuum mechanics · සූත්‍රකරණ නිව්ටෝනියානු යාන්ත්‍ර විද්‍යාව (Vectorial mechanics) : මූලික සංකල්ප අවකාශය · කාලය · ප්‍රවේගය · වේගය · ස්කන්ධය · ත්වරණය · ගුරුත්වය/ගුරුත්වාකර්ෂණය · බලය ·  · ව්‍යාවර්තය / /  · ගම්‍යතාවය ·  ·  ·  · සමුද්දේශ රාමු · ශක්තිය · චාලක ශක්තිය ·  ·  ·  · හර මාතෘකා  ·  ·  · චලිතය · චලිතය පිළිබඳ නිව්ටන් නියම ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  · සාපේක්ෂ ප්‍රවේගය ·  ·  · Harmonic oscillator ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  · කෝණික ප්‍රවේගය ·  · විද්‍යාඥයෝ ගැලී‍ලියෝ ගැලිලි · අයිසැක් නිව්ටන් ·  · ලෙනාඩ් ඉයුලර් ·  ·  ·  ·  ·  ·

e

මෙම නියම ත්‍රිත්වය අයිසැක් නිව්ටන් විසින් ක්‍රි.ව. 1687 ජූලි 5 වැනි දින පළමු වරට පළකරන ලද Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica නම් ග්‍රන්ථයෙහි ඇතුළත් කරන ලදී. නිව්ටන් විසින් මෙම නියමයන් බොහෝ භෞතීය වස්තූන් හා පද්ධති වල චලිතය පැහැදිලි කිරීමට යොදා ගන්නා ලදී. උදාහරණයක් ලෙස මෙම නියම සිය සමඟ යෙදීමෙන් පැහැදිලි කල හැකි බව එම ග්‍රන්ථයේ තෙවැනි වෙළුමෙහි නිවුටන් පෙන්වා දුන්නේය.

හැඳින්වීම

නිවුටන් නියම යොදාගත හැක්කේ අංශුමය හෝ අංශුමය ලෙස සැලැකිය හැකි වස්තූන් සම්බන්ධයෙනි. එනම් වස්තුව චලනය වන දුර හා සැලැකීමේදී එහි ප්‍රමාණය සහ විතතිය ඉතාමත් කුඩා වන අතර වස්තුවේ භ්‍රමණය නොසලකා හැරෙයි. එබැවින් තාරකාවක් වටා පරිභ්‍රමණය වල ගුහයෙකු එහි පරිභ්‍රමණ චලිතය පමණක් සැලැකීමෙන් අංශුවක් ලෙස සැලැකිය හැකි ය.

නිව්ටන් නියම එහි මූලික ආකාරයෙන් ගත් කල සහ වස්තූන්ගේ චලනය පැහැදිලි කිරීමට ප්‍රමාණවත් නොවේ. එබැවින් 1750 දී ලෙනාඩ් ඉයුලර් දෘඪ වස්තූන් සඳහා නිව්ටන් නියමයන්ගේ සාමාන්‍යකරණයක් වූ හඳුන්වා දුන්නේ ය. පසුව එම නියම ලෙස සැලැකිය හැකි ප්‍රත්‍යස්ථ වස්තූන්ගේ චලිතය පැහැදිලි කිරීමට ද යොදා ගැනුනි. යම් වස්තුවක් නිව්ටන් නියම පිලිපදින අසන්තතික අංශූන්ගේ එකතුවක් ලෙස සැලැකූ විට නිව්ටන් නියමයන්ගෙන් ඉයුලර් නියම ව්‍යුත්පන්න කර ගත හැකි ය.

නිව්ටන් නියම සත්‍ය වන්නේ ලෙස හැඳින්වෙන විශේෂ පද්ධති තුළ දී පමණි. නිව්ටන්ගේ පළමු නියමයෙන් අවස්තිථික රාමුව අර්ථ දැක්වෙන බවට සමහරු අදහස් කරති. දෙවැනි නීතිය සත්‍ය වන්නේ පළමු නීතියෙන් අර්ථ දැක්වෙන අවස්ථිතික රාමුවක පමණක් බැවින් පළමු නීතිය දෙවැනි නීතියේ විශේෂ අවස්ථාවක් නොවන බව ඔවුහු තව දුරටත් කියති. වෙනත් අයගේ අදහස වන්නේ පළමු නීතිය දෙවැන්නේ ව්‍යුත්පන්නයක් බවයි. අවස්ථිතික රාමුව යන සංකල්පය ඇති වූයේ නිව්ටන් මිය ගොස් බොහෝ කලෙකිනි.

චලනය වන වස්තූන්ගේ ප්‍රවේගය ආලෝකයේ ප්‍රවේගයට ආසන්න වන විට විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදයේ නියම සැලැකිල්ලට ගත යුතු ය.

නිව්ටන්ගේ පළමු නියමය

පළමු නියමය: බාහිර අසමතුලිත බලයක් නොයෙදෙන තාක් කල් එම වස්තුව නිශ්චලතාවයේ හෝ ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන්සරල රේකීයව චලනය වෙමින් පවතී.

වස්තුව මත යෙදෙන සම්ප්‍රයුක්ත බලය ශූන්‍ය නම් වස්තුවේ ප්‍රවේගය නියතව පවතින බව මින් කියැවේ. ගණිතමය ලෙස සඳහන් කරන්නේ නම්:

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0\Rightarrow {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=0.}$

මෙම නියමය ආවස්ථිති නියමය ලෙස ද හඳුන්වයි

“ ශුන්‍ය සම්පයුක්ත බලයකින් ශූන්‍ය ත්වරණයක් ” ලෙස මෙය සාමාන්‍යයෙන් දක්වයි. නමුත් මෙය පමණට වඩා සාරාංශ ගත කිරීමකි. නිව්ටන් විසින් දක්වන පරිදි පළමු නියමය , දෙවන නියමයේ විශේෂ අවස්ථාවකට වඩා වැඩි යමකි. සාධාරණ හේතූන් මත නිව්ටන් තම නියමයන් ක්‍රමවත් පිළිවෙලකට සකස් කළේය. (නිදසුන් සදහා Gailili හා Tseitlin හෝ Woodhouse බලන්න) පළමු නියමයේ වැදගත්කම වනුයේ අනෙකුත් නියමයන් යොදාගත හැකි යැයි සලකනු ලබන රාමු ලෙස තහවුරු කර ගැනීමයි. එවන් රාමු ආවස්ථික රාමු ලෙස හදුන්වයි.

මෙම නියමයන් ආවස්ථික රාමුවලට සීමා කරනුයේ ඇයි දැයි තේරුම් ගැනීමට ත්වරණය වන වස්තුවක් තුළ නිසලව ඇති තවත් වස්තූන් සලකන්න. ගුවන් පථය මත ගමන් කරන අහස්යානාවක් මෙම උදාහරණයට ප්‍රමාණවත්ය. අහස්යානය තුළ සිටින කෙනෙකු හට පෙනෙන පරිදි (පාරිභාෂිත වචනය අනුව පැවසුවහොත් අහස් යානාවේ ආවස්ථික රාමුවට අනුව) අහස්යානය ඉදිරියට ත්වරණය වන විට එතුළ ඇති පන්දුවක් සැලකුවොත් එය පසුපසට චලනය වනු දැකිය හැක. (අහස්යානාවකින් ඔබ ඉදිරියට ත්වරණයකින් ගමන් කිරීමේදී අසුනට තෙරපෙන පරිදිම) මෙකී චලනය නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමයට පරස්පර බවක් යානය තුළ සිටින මගියාගේ දෘෂ්ටි කෝණය අනුව පෙනේ. මන්දයත් පන්දුව මත කිසිදු බලයක් නොමැතිව එය චලනය වූ හෙයිනි. නමුත් මෙහිදී නිව්ටන්ගේ දෙවන නියමය මින් පරස්පර තත්වයකට පත් නොවන්නේ එය (කිසිදු වෙනස් කිරීමකින් තොරව) මෙම අවස්ථාවේදී යොදාගත නොහැකි බැවිනි. නිව්ටන්ගේ පළමු නියමය පන්දුව නිෂ්චල නොමැති බැවින් නොයෙදේ. මේනිසා සමහරක් අවස්ථාහිදී නියමයක් යොදා ගත නොහැකි නිසා විවිධ නියමයක් යෙදිය හැකි අවස්ථා ස්ථිර කරගැනීම වැදගත් වේ.

සාරාංශීකරණය

අංශුවක සාපේක්ෂ චලිතය බාහිර බලයක් ක්‍රියා නොකරන විට සරළ රේඛීය වන්නේ යැයි සලකනු ලබන රාමු සමූහයකි. (ආවස්ථික රාමු ලෙස හදුන්වයි.) වස්තුවක් මත ක්‍රියාකරන සම්ප්‍රයුක්ත බලය යනු එම වස්තුව මත ක්‍රියා කරන බලයන්ගේ දෛශික ෙඑක්යයයි. නිව්ටන්ගේ පළමු නියමයෙන් කියැවෙනුයේ මෙකී එකතුව ශූන්‍ය වන විට වස්තුවේ චලිතය ස්වාභාවය වෙනස් නොවේ යන්නයි. ප්‍රධාන වශයෙන් එය පහත කරුණු දෙක විග්‍රහ කරයි.

·චලනය නොවන වස්තුවක්, ඒමත සම්ප්‍රයුක්ත බලයක් ක්‍රියාකරන තෙක් චලනය නොවේ.

·චලනය වන වස්තුවක්, ඒ මත සම්ප්‍රයුක්ත බලයක් ක්‍රියා කරන තෙක් චලනය වන ප්‍රවේගය (ත්වරණය) වෙනස් නොවේ.

ඒ අනුව යම් අවස්ථිති රාමුවකට සාපේක්ෂව යම් අංශුවක් ඒකාකාර චලිතයක් පවත්වා ගැනීමට අවශ්‍යතාව වනුයේ ඒ මත යෙදෙන සම්ප්‍රයුක්ත බලය ශූන්‍ය වීම ය. නිව්ටන්ගේ පළමු නියමය බොහෝ විට අවස්ථිති නියමය ලෙස හැඳින්වේ.

නිව්ටන් නියම සත්‍ය වන්නේ අවස්ථිති රාමුවකදී පමණ ය. යම් අවස්ථිති රාමුවකට සාපේක්ෂව ඒකාකාර චලිතයේ යෙදෙන පද්ධතියක් ද අවස්ථිනි රාමුවක් වේ.

සාපේකෂව ගත් විට පළමු කාරණය බොහෝ දෙනෙකුට පැහැදිලි වේ. නමුත් දෙවන කාරණය යම් දුරකට සිතා අවබෝධ කර ගැනීමක් අවශ්ය වේ. මන්ද යත් අප එදිනෙදා ජීවිතයේදී එලෙස සදාකාලික චලනයෙහි යෙදෙන දෑ දැකීමට නැති බැවිණි. (ආකාශ වස්තු හැර) යමෙක් හොකී ක්‍රිඩාවේ භාවිත රබර් පෙත්තක් මේසයක් ඔස්සේ ලිස්සා යැවුව හොත් එය දිගටම චලනය නොවී ක්‍රමයෙන් චලනය වන වේගය අඩු වී නිශ්චල තාවයට එළඹේ. මෙසේ වනුයේ රබර් පෙත්ත මත යම් බලයක් ක්‍රියා කිරීම නිසාය. නියත වශයෙන්ම මෙය හා රබර් පෙත්ත අතර ඝර්ෂණ බලයක් පවතී. එම බලය චලිත දිශාවට විරුද්ධව ක්‍රියා කරයි. වස්තුවේ වේගය ක්‍රමයෙන් අඩු වී නිශ්චල වීමට බලපානුයේ මෙකී ඝර්ෂණ බලයයි. ආසන්න ලෙස එවන් බලයක් නොමැති වාතමය මේසයක් හෝ අයිස් තලයක් මතදී එම පෙත්තේ වේගය අඩු නොවනු ඇත. නිව්ටන්ගේ පළමු නියමය හුදෙක් ගැලීලියෝ ඒ වන විටත් විස්තර කර තිබූ දෙයක් නැවත ප්‍රකාශ කිරීමක් හා ගැලීලියෝට කරන ලද ගෞරවයකි. සියලු වස්තු සදහා ස්වාභාවික ස්ථානයක් විශ්වයේ පවතිනවා යන ඇරිස්ටෝටල්ගේ දර්ශනය එයින් වෙනස් වූ මතයකි. ඇරිස්ටෝටල් විශ්වාස කළ ආකාරයට විශාල ගල් වැනි බර දෑ පොළොවේ නිශ්චලව පැවතීමත් දුම් වැනි සැහැල්ලු දෑ අහසේ නිෂ්චලව පැවතීමට හා තාරුකාදිව්ය ලෝකයේ පැවතීමට අවශ්‍ය බවයි.

කෙසේ හෝ ගැලීලියෝ හා ඇරිස්ටෝටල්ගේ මතයන් අතර පැවති ප්‍රධානතම වෙනස් කම වූයේ වස්තුවක් මත ක්‍රියාකරන බලය නිශ්චල කරනුයේ එහි ත්වරණය මත මිස ප්‍රවේගය මත නොවන බව ගැලීලියෝ වටහා ගෙන සිටීමයි. මෙම දර්ශනය නිව්ටන්ගේ පළමු නියමයට (බලයක් නැතිනම් ත්වරණයක් නැත. එවිට වස්තුවේ ප්‍රවේගය නියතව පවත්වා ගනී) මග පෙන්වීය.

පැහැදිලිව පෙනෙන ආකාරයට ආවස්ථිති නියමය වෙනස් දාර්ශනිකයින් හා විද්‍යාඥයින්ට වෙන වෙනම කල්පනා වුණ දෙයකි. චලනයේ ආවස්ථිතිය පිළිබදව ක්‍රි.පු. 3 වන ශත වර්ෂයේදී චීන දාර්ශනික මෝ ට්සු (Mo Tzu), පළමු ශත වර්ෂයේදී මුස්ලිම් විද්‍යාඥයෙකු වූ අල්හසීන් (Alhazen) හා ඇවිස්නා (Avicenna) පැහැදිලි කරන ලදී. 17 වන ශත වර්ෂයේදී දාර්ශනික රින් ඩිස්කාටස් (Rene Descartes) නියමයක් ඉදිරිපත් කළ මුත් ඔහු පරීක්ෂණ මගින් එය සනාත කර පෙන්වූවේ නැත.

සාමාන්‍යයෙන් චලනය වන ඕනෑම වස්තුවක් මත ඝර්ෂණය ක්‍රියා කරන බැවින්ද අභ්‍යවකාශයේ පවා ආවරණය කළ ගුරුත්වාකර්ෂණ බල හේතුවෙන් නියමයට පරිපුර්ණ ලෙස සනාථ කිරීම අපහසුය. නමුත් වස්තුවක චලිත ස්වභාවය වෙනස්වීමට මූලික වන කාරණා පැහැදිලිව පෙන්වීමට මෙම නියමය වැදගත් වේ.

නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමය

අවස්ථිතික රාමුවක පවතින අංශුවක් මත යෙදෙන සම්ප්‍රයුක්ත බලය සාපේක්ෂව එම අංශුවේ ගම්‍යතාවය p වෙනස් වීමේ සීග්‍රතාවයට අනුලෝම ව සමානුපාතික වන බව මෙම නීතියෙන් කියැවෙයි. එනම්:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}}$

නියමය වලංගු වන්නේ ස්කන්ධය නියත වන පද්ධති වලට පමණක් බැවින් ස්කන්ධය m අවකලන ලකුණින් පිටතට ගත හැකි ය.

${\displaystyle \mathbf {F} =m\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} ,}$

මෙහි F යනු සම්ප්‍රයුක්ත බලය ද a යනු ත්වරණය ද වෙයි.

ස්කන්ධය විනාශ වීමක් හෝ ජනනය වීමක් සිදු වුව හොත් බාහිර සම්ප්‍රයුක්ත බලයක් මඟින් ඇති නොකැරුණු ගම්‍යතා වෙනසක් ඇති වෙයි. මෙය නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමයෙන් පැහැදිලි නොකැරෙයි.

ගම්‍යතාවයෙහි විශාලත්වය නොවෙනස් වුව ද, එහි දිශාව වෙනස් වන්නේ (උදා: ඒකාකාර වෘත්ත චලිතය) නම් කාලය විෂයයෙන් එහි ව්‍යුත්පන්නය ශූන්‍ය නොවෙයි. එබැවින් මෙම නියමය පළමු නියමය හා එගඟ වෙයි.

චලනය වන වස්තූන්ගේ ප්‍රවේගය ආලෝකයේ ප්‍රවේගයට වඩා ඉතා කුඩා නම් පමණක් නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමය සත්‍ය වෙයි. නැත හොත් එම චලනය විස්තර කිරීමට විශේෂ සාපේක්ෂතාවාදය අවශ්‍ය වේ.

ආවේගය

Δt කාලයක් තුළ F බලයක් යම් වස්තුවක් මත ඇති වූ විට ඇති වන ආවේගය J

${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{\Delta t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t.}$

මඟින් දෙනු ලැබේ. බලය යනු ගම්‍යතාවයේ කාලය විෂයයෙන් ව්‍යුත්පන්නය වන බැවින්,

${\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =m\Delta \mathbf {v} .}$

නිව්ටන්ගේ තෙවැනි නියමය

නිව්ටන්ගේ තෙවැනි නියමය-රෝද සපත්තු පැළැඳි ක්‍රීඩකයෝ එකිනෙකා තල්ලු කරති. මෙ විට දෙදෙනා එකිනෙකා කෙරෙහි සමාන වූ නමුදු ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශා වල ක්‍රියා කරන බල යොදති.

තෙවැනි නියමය: සෑම ක්‍රියාවකට සමාන එහෙත් ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රතික්‍රියාවක් පවතී.

තෙවැනි නියමයෙන් කියැවෙන්නේ සියලු බලයන් වස්තූන් අතර අන්තර්ක්‍රියා වන බවයි. එබැවින් එක් වස්තුවක් මත පමණක් ක්‍රියා කරන බලයක් පැවැතිය නොහැක. A නම් වස්තුවක් B නම් වස්තුව වෙත බලයක් යොදයි නම් B වස්තුව ද A වෙත සමාන විශාලත්වයෙන් යුතු බලයක් යොදයි. බල ද්විත්වය ම එකම සරල රේඛාවක ප්‍රකිවිරුද්ධ දිශාවන්ට යොමු ව පිහිටයි.

දකුණු පස රූපයෙහි ‍රෝද සපත්තු පැළැඳි ක්‍රීඩකයෝ එකිනෙකා තල්ලු කරති. මෙ විට දෙදෙනා එකිනෙකා කෙරෙහි සමාන වූ නමුදු ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශා වල ක්‍රියා කරන බල යොදති. බලයන් සමාන වුව ද දෙදෙනාගේ ත්වරණයන් අසමාන විය හැකි ය. ස්කන්ධයෙන් අඩු ක්‍රීඩකයා නිව්ටන්ගේ දෙවැනි නියමයට එකඟ ව වැඩි ත්වරණයක් ලබා ගනු ඇත. තව දුරටත් බල දෙක ම එකම වර්ගයෙක වෙයි. (දී ඇති උදාහරණයේ බල දෙක ම ප්‍රතික්‍රියා බල වෙයි. වෙනත් උදාහරණයක්: කාරයක රෝද මාර්ගය මත ඝර්ෂණ බලයක් යොදන අතර මාර්ගය ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට රෝදය මත ඝර්ෂණ බලයක් යොදයි).

ගණිතමය වශයෙන් බැලූ කල, නිව්ටන්ගේ තෙවැනි නියමට ඒක-මාන වෙයි. එනම්, එකිනෙක මත බලයන් යොදන A සහ B වස්තූන් දෙකක් පවතී නම්,

${\displaystyle \sum \mathbf {F} _{a,b}=-\sum \mathbf {F} _{b,a}}$

මෙහි,

F_a,b යනු A මත B යොදන බලයත්,

F_b,a යනු B මත A යොදන බලයත් වේ.

නිව්ටන්, ගම්‍යතා සංස්ථිති නියමය ව්‍යුත්පන්න කර ගැනීම පිණිස සිය තෙවැනි ‍නියමය භාවිතා කළේය. කෙසේ වුවද ගැඹුරින් බලන කල ගම්‍යතා සංස්ථිතිය නිව්ටන්ගේ තෙවැනි නියමයට වඩා මූලික සංකල්පයකි. ගම්‍යතා සංස්ථිති නියමය, නිව්ටන්ගේ තෙවැනි නියමය බිඳ වැටෙන සහ යන සංකල්පයන් තුල බිඳ නොවැටෙයි.

මූලාශ්‍ර

1. See the Principia on line at Andrew Motte Translation
2. Andrew Motte translation of Newton's Principia (1687) Axioms or Laws of Motion
3. Truesdell, Clifford A.; Becchi, Antonio; Benvenuto, Edoardo (2003). Essays on the history of mechanics: in memory of Clifford Ambrose Truesdell and Edoardo Benvenuto. New York: Birkhäuser. p. 207. ISBN .
4. Galili, I.; Tseitlin, M. (2003). . Science & Education. 12 (1): 45–73. :2003Sc&Ed..12...45G. doi:10.1023/A:1022632600805. 2020-04-02 දින මුල් පිටපත වෙතින් සංරක්ෂණය කරන ලදී. සම්ප්‍රවේශය 2011-06-18.{{}}: CS1 maint: multiple names: authors list ()
5. Benjamin Crowell. "4. Force and Motion". . ISBN . 2007-02-16 දින මුල් පිටපත වෙතින් සංරක්ෂණය කරන ලදී. සම්ප්‍රවේශය 2011-06-18.
6. Isaac Newton, The Principia, A new translation by I.B. Cohen and A. Whitman, University of California press, Berkeley 1999.
7. Thornton, Marion (2004). Classical dynamics of particles and systems (5th ed.). Brooks/Cole. p. 53. ISBN .
8. Plastino, Angel R. (1992). "On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems". Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. :1992CeMDA..53..227P. doi:10.1007/BF00052611.  0923-2958. {{}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) () "We may conclude emphasizing that Newton's second law is valid for constant mass only. When the mass varies due to accretion or ablation, [an alternate equation explicitly accounting for the changing mass] should be used."
9. Halliday. Physics. Vol. 1. p. 199. ISBN . It is important to note that we cannot derive a general expression for Newton's second law for variable mass systems by treating the mass in F = dP/dt = d(Mv) as a variable. [...] We can use F = dP/dt to analyze variable mass systems only if we apply it to an entire system of constant mass having parts among which there is an interchange of mass. {{}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) () [Emphasis as in the original]
10. Kleppner, Daniel (1973). An Introduction to Mechanics. McGraw-Hill. pp. 133–134. ISBN . Recall that F = dP/dt was established for a system composed of a certain set of particles[. ... I]t is essential to deal with the same set of particles throughout the time interval[. ...] Consequently, the mass of the system can not change during the time of interest. {{}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) ()
11. Hannah, J, Hillier, M J, Applied Mechanics, p221, Pitman Paperbacks, 1971
12. Raymond A. Serway, Jerry S. Faughn (2006). College Physics. Pacific Grove CA: Thompson-Brooks/Cole. p. 161. ISBN .
13. C Hellingman (1992). "Newton's third law revisited". Phys. Educ. 27 (2): 112–115. :1992PhyEd..27..112H. doi:10.1088/0031-9120/27/2/011.
14. Newton, Principia, Corollary III to the laws of motion