මධ්‍යන්‍යය

ගණිතයෙහි, විශේෂයෙන්ම සංඛ්යානයෙහි මධ්‍යන්‍යය නොහොත් සාමාන්‍යය වර්ග කීපයක් පවතී. ඒ සෑම එකක්ම පාහේ දෙන ලද දත්ත සමුහයක් සාරාංශ කිරීමට දායක වෙයි. බොහෝ විට මධ්‍යන්‍යය භාවිතයෙන් දෙන ලද දත්ත සමුහයක සමස්ත අගය ( විශාලත්වය සහ ලකුණ ) වඩා හොඳින් තේරුම් ගත හැක.

මධ්‍යන්‍යය වර්ග

• සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය
• ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය
• හරාත්මක මධ්‍යන්‍යය

සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය - Arithmetic mean

සංඛ්‍යා සමුහයක සියලු අගයන්ගේ එකතුව සමූහයේ ඇති සංඛ්‍යා ගණනින් බේදීමෙන් සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය (සරලව ගත් කල සාමාන්‍යය ) ගණනය කල හැක. එලෙසම, නියැදියක් (${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$) සැලකූ කල, නියැදිගත අගයන්ගේ එකතුව නියැදියේ ඇති අයිතම ගණනින් බෙදීමෙන් නියැදියක මධ්‍යන්‍යය (${\displaystyle {\bar {x}}}$) ලබාගත හැක.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

උදාහරණයක් වශයෙන්, 4, 36, 45, 50, 75 යන අගයන්ගේ සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය පහත පරිදි වේ:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය - Geometric mean

යම් ධන සංඛයා සමුහයක් අර්ථ දැක්වීමේදී ඒවාගේ එකතුවට ( සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය මෙන්) වඩා ඒවා අතර ගුණිතය භාවිතය (වර්ධන අනුපාතිකය වැනි) වඩා අර්ථවත් වන අවස්ථා වල දී වැදගත් වෙයි.

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

උදාහරණයක් ලෙස ඉහත දැක්වූ සංඛ්‍යා සමූහයෙහි ම (4, 36, 45, 50, 75) ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය පහත පරිදි වේ:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

හරාත්මක මධ්‍යන්‍යය - Harmonic mean

හරාත්මක මධ්‍යන්‍යය භාවිතා වනුයේ යම් ඒකකයක් (උදා. වේගය - ඒකක කාලයකදී දුර ) භාවිතයෙන් අර්ථ දක්වනු ලැබූ සංඛ්‍යා ශ්‍රිතයක සාමාන්‍යය ගණනය කිරීමේදී ය.

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

උදාහරණයක් වශයෙන්, 4, 36, 45, 50, 75 යන අගයන්ගේ හරාත්මක මධ්‍යන්‍යය පහත පරිදි වේ:

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

සමාන්තර, ගුණෝත්තර හා හරාත්මක මධ්‍යන්‍යයන් අතර සම්බන්ධතාව

සංඛ්‍යා ශ්‍රිතයක් සැලකූ කල එහි සමාන්තර, ගුණෝත්තර හා හරාත්මක මධ්‍යන්‍යයන් අතර සම්බන්ධතාව පහත පරිදි වේ.

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} }$

${\displaystyle \mathrm {AM:} }$ සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය

${\displaystyle \mathrm {GM:} }$ ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය

${\displaystyle \mathrm {HM:} }$ හරාත්මක මධ්‍යන්‍යය

සමාන්තර, ගුණෝත්තර හා හරාත්මක මධ්‍යන්‍යයන් සමාන වන්නේ ශ්‍රිතයේ සියලු අංග සමාන වන විට යි.

ආශ්‍රිත

1. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3127352/